ルベーグ積分の学習。
ルベーグ積分⑬ ~ 正則測度の性質 ~
ブロッコリーの体積を直接測ることは難しいが、水に沈めて水面の上昇量を調べることで、
間接的に体積を測ることができる。 仮に品種改良を繰り返して、次々に大きなブロッコリーが
作られるようになったら、それなりに大きな水槽を用意して測れば良い。
では、このように大きくする品種改良が 「無限回」 繰り返されたら、同様に水を使って間接的に測ることができるだろうか。
この場合、もし大きさが無限に大きくなるのであれば、「無限大」という測定結果になるだろう。（普通ありえないけど）
一方、いくら改良しても、これ以上大きくできないという限界があるのだったら、測定値は、その限界の大きさに収束し、
それを体積の極限値とすれば良い。
言葉で書くと、当たり前のことなのに、数学的に無限回というのを厳密に扱うと、妙に証明が難しくなるのでやっかいだ。
ルベーグ積分の学習。
ルベーグ積分⑫ ~ 正則測度の構成 ~
測度とは、極めてざっくり言えば、何かの測定値なわけで、（と思っているだけで、あまり自信はないが）
測る対象（集合）と測り方（測度の定義）次第で測れたり測れなかったりする。
雑な例で何だが、例えばブロッコリーの体積を「直接」測ろうとすると、これは大変なことで、
おそらく測れないんじゃないかと思う。 しかし、下の写真のように、ブロッコリーを水に沈めて、水面の上昇量を
記録すれば、適当な方法で上昇した分の水の体積を調べ、間接的に、ブロッコリーの体積が分かるはずだ。
この時、ブロッコリーの表面と、周りの水の間に気泡などの「隙間」がないこと、が重要なのは言うまでもない。
で、このように測れない対象を直接測定する代わりに、別の測れる対象を測定し、その結果を「正しい測定値」として
代用しようというのが、今回学んだことだ。（合っているだろうか？） ただ代用するといっても、その結果が
信頼できないと困るので、一定の条件をみたす信頼できる測定値のことを 「正則な測度」 と呼ぶらしい。
上記の例えでは、ブロッコリーと水の間に隙間がないことが必須の条件だが、数学的には、似たようなことが
集合の要素の「下限値」という言葉で語られる。 最初、証明を見た時は何を行っているのか、さっぱり
分からなかったが、繰り返し噛みしめるように論理を追っていくと、次第に意味が分かってきた。 するめみたいだな。
ルベーグ積分の学習。
数の落とし子 ルベーグ積分⑨ ~ 可測集合列の和集合の可測性 ~
測度が決まる集合（可測集合）を無限個集めた時、その和集合の測度を決めることができる（可測である）という話。
数式を追っていくと、正しいことがわかるが、集合を無限個集める、という時点で直観から遠ざかってしまい、
どうももやもやした感じが残る。 
ホットケーキをたくさん重ねても、境界がぼやけることは無いので
大きさを測ることはできそうだ。
でも無限個集めたら、無限に大きくなる可能性もあるので
そうなると、いつまでたっても測り終えることができないかも・・・
いや、測り終えることができないことを予測できるから、
「大きさ無限」という測定値が得られて、それで 「可測」
というわけか・・・。
ルベーグ積分の学習の続き。
数の落とし子 ルベーグ積分⑥ ~ 可測集合の性質 ~
複数の集合を次第に大きくなるように定義し、それらを無限個に増やしていく場合、「全ての集合の和（合併）」の測度は、
「最後の集合の測度」の極限値になる、という定理を教わった。
ホットケーキの下に、より大きいホットケーキを挿入することを何度も繰り返した後、全体を上から見た時の大きさは、
当然、一番下のホットケーキの大きさになるわけだが・・・それを無限回繰り替えしても、結果は同様・・・という、
これまた当り前じゃないかという気がする。 でも、「無限回」というのを、きちんと言葉で説明しようとすると、
どうもうまく行かない。 そこを、正確に反論の余地なく説明できるのが、数学の面白い所。
ルベーグ積分の学習の続き。
数の落とし子 ルベーグ積分⑤ ~ 可測集合の性質 ~
ある集合に対して、可測性、つまり何かしらの測定ができるかどうかを判定するのは、まじめに考えると簡単ではないらしい。
数学では、可測性を「境界がはっきりしているかどうか」という意味で扱い、それを数式で表現することで、各種の定理が
導き出される。
例えば、ホットケーキを切って重ならないように並べた時、「全体の大きさ」 と「切れ端１枚ごとの大きさの合計」は等しい。
ただし、切った時に境界がはっきりしなくなったら、１枚ごとの大きさが怪しくなるので、合計した大きさが、切る前より
大きくなったりするかもしれない。 そういったことを、逐一数式に置き換えて証明を行うので、えらく大変だ。
まあ、そうやって直観的に当たり前と思えることを、論理的に見直すことは大事なことなのだろうと思う。
かねてから理解したいと思っていた、ルベーグ積分について、動画で学習。
数の落とし子 ルベーグ積分
痒い所に手が届く解説で素晴らしい。 とはいえ、先は長いし大丈夫だろうか。
まずは測度の定義から。
測度とは、ある集合Ａを完全に含むような『集合の集まり」を想定したとき、
Ａの測度 ≦ 『集合の集まり』 を構成する集合の測度の和
となるように決めるものである、という。
この性質を劣加法性と呼ぶそうだが、例えばこんな感じか？
上に乗っているホットケーキの大きさ
≦ 下のホットケーキ１枚ごとの大きさの合計
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