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ルベーグ積分 ~ 無限個の集合の和の測度

ルベーグ積分の学習。
数の落とし子 ルベーグ積分⑨ ~ 可測集合列の和集合の可測性 ~

測度が決まる集合(可測集合)を無限個集めた時、その和集合の測度を決めることができる(可測である)という話。
数式を追っていくと、正しいことがわかるが、集合を無限個集める、という時点で直観から遠ざかってしまい、
どうももやもやした感じが残る。 
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ホットケーキをたくさん重ねても、境界がぼやけることは無いので
大きさを測ることはできそうだ。

でも無限個集めたら、無限に大きくなる可能性もあるので
そうなると、いつまでたっても測り終えることができないかも・・・

いや、測り終えることができないことを予測できるから、
「大きさ無限」という測定値が得られて、それで 「可測」
というわけか・・・。

ルベーグ積分 ~ 単調増加する集合列

ルベーグ積分の学習の続き。
数の落とし子 ルベーグ積分⑥ ~ 可測集合の性質 ~

複数の集合を次第に大きくなるように定義し、それらを無限個に増やしていく場合、「全ての集合の和(合併)」の測度は、
「最後の集合の測度」の極限値になる、という定理を教わった。

ホットケーキの下に、より大きいホットケーキを挿入することを何度も繰り返した後、全体を上から見た時の大きさは、
当然、一番下のホットケーキの大きさになるわけだが・・・それを無限回繰り替えしても、結果は同様・・・という、
これまた当り前じゃないかという気がする。 でも、「無限回」というのを、きちんと言葉で説明しようとすると、
どうもうまく行かない。 そこを、正確に反論の余地なく説明できるのが、数学の面白い所。
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ルベーグ積分 ~ 集合の可測性

ルベーグ積分の学習の続き。
数の落とし子 ルベーグ積分⑤ ~ 可測集合の性質 ~

ある集合に対して、可測性、つまり何かしらの測定ができるかどうかを判定するのは、まじめに考えると簡単ではないらしい。
数学では、可測性を「境界がはっきりしているかどうか」という意味で扱い、それを数式で表現することで、各種の定理が
導き出される。

例えば、ホットケーキを切って重ならないように並べた時、「全体の大きさ」 と「切れ端1枚ごとの大きさの合計」は等しい。
ただし、切った時に境界がはっきりしなくなったら、1枚ごとの大きさが怪しくなるので、合計した大きさが、切る前より
大きくなったりするかもしれない。 そういったことを、逐一数式に置き換えて証明を行うので、えらく大変だ。
まあ、そうやって直観的に当たり前と思えることを、論理的に見直すことは大事なことなのだろうと思う。
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ルベーグ積分 ~ 測度の劣加法性

かねてから理解したいと思っていた、ルベーグ積分について、動画で学習。
数の落とし子 ルベーグ積分

痒い所に手が届く解説で素晴らしい。 とはいえ、先は長いし大丈夫だろうか。

まずは測度の定義からはじめて劣加法性の説明など。 劣加法性とは、平たくいうと
「対象となる集合の和」に対する測定値は、「個々の集合に対する測定値」の和より大きくなることはない」
ということだと思うが、例えばこんな感じか?
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 ホットケーキ全体の見た目の大きさ
 ≦  ホットケーキ1枚ごとの大きさの合計

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