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コッホ曲線もどき

これも、EXOTIC GARDEN さんのコメントをもとにして作ってみた。 コッホ曲線 的なフラクタル図形である。 画面表示では、画素より細かい構造がつぶれてしまっているが、正確なフラクタル図形の場合は、無限に細かい構造が含まれる事になる。 さて、この図形だが、

上の大きな図形は、下の小さな図形を縦横3倍に拡大したものである。 と同時に
上の大きな図形は、下の小さな図形を5個組み合わせたものでもある。

本来、図形を縦横それぞれ3倍に拡大すると、線全体の長さも3倍になるはずだ。 ところが、この図形の場合、全体が5倍になっている。 つまり、何か線の長さとは違う量が5倍になっているようである。 

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数学的な話」カテゴリの記事

コメント

 まいどありがとうございます。第二コッホ曲線です。正解です。お見事です。
 フラクタル次元について解説します。長くなってしまいますので、散読してください。
 平面内でも立体内でもかまいませんが、特定の図形を描写します。一辺をA倍すると元の図形の相似形がB個できたとき、この図形はLogA-B次元となる。と定義します。
 どんな恰好の図形でもかまいませんが、立方体でやってみます。1個の立方体には12本の辺がありますが、一辺を2倍に拡大してできる立方体には、元の立方体の24本分の辺ができます。24÷12=2で、Log2-2=1 で、立方体の辺は1次元です。立方体には正方形の面が6枚あります。一辺を2倍にした相似形の立方体には、元の正方形の面を4倍にした面積の面ができます。Log2-4=2 正方形は2次元です。元の立方体の体積は8倍になりますから、Log2-8=3で3次元です。ついでに、立方体には頂点が8個ありますが、拡大された相似形の立方体の頂点も8個です。一辺を2倍にしても頂点の数は1倍ですから、 Log2-1=0で、頂点は0次元です。
 では、第二コッホ曲線だと、元になる基本形態である凸状の形態の一辺を3倍すると、凸型の線が5倍になります。Log3-5=1.46497352.....次元というわけです。ただ、この第二コッホ曲線を含む自己相似形態のフラクタル図形は、元になる図形の底の数値をAとしてA^N (N=負数を含む整数のみ)倍のときにのみ、元の図形の相似形になるので、非連続的な数値しかフラクタル次元が定義できない。という特殊性があります。通常のわれわれが従来知っている1次元の線。2次元の面。3次元の立体は、たとえば元の図形が正方形で面積が1m^2のとき、一辺を√2倍すると面積は2m^2になり、Log√2-2=2で数値が合いますが、第二コッホ曲線は一辺を2倍にしても元の凸型の相似形ができないので定義できません。従来の次元空間では、有理数無理数含めて、どんな倍率でも両者の相似形が存在する。ということで、両者は異質です。
 三角形の中心部を何度も消去していくというシルピンスキーのギャスケットだと、底は2であり、2^N倍のみ相似形になります。2倍、4倍、8倍、16倍・・・・・・
 Nが0より少なくなると、2^0=1倍 2^-1=0.5倍 2^-2=0.25倍等々・・・となり、この倍率のみ相似形になっています。
 第二コッホ曲線の長さは、一辺を凸型にするという操作をするごとに、長さは5/3倍となります。この操作を無限回繰り返すので、lim N→∞(5/3)^Nで、無限大となります。シルピンスキーの図形も長さは無限大になり、面積は0です。両者共に空間量としては、線<第二コッホ曲線<シルピンスキー<面となります。
 シルピンスキーの図形は、一辺を2倍にすると元の相似形が3個できますので、Log2-3=1.5849625.....次元となります。第二コッホ曲線よりもいくらか次元数が大きいので、それだけ2次元に近いということなのでしょう。
 なぜ第二コッホ曲線の作成を依頼したかというと、まず、私自身プログラムの作成方法が分からず作図できないということ。フラクタル図形の作図用のプログラムをダウンロードしてみましたが、うまく作動しなかったこと。コッホ曲線はサイトがいくつかあり、図が掲載されていますが、第二コッホ曲線が載っているのは見たことがない。これらが理由です。
 なお、横線の突起は上側に凸状に角を伸ばすのに、縦線は線の内側に凸突起を伸ばすのは、コッホ曲線のようにどちらも上側に突起を伸ばすとぶつかってしまい、恰好が悪くなるからです。
 これら以外にも、フラクタルには無数の種類があり、いろんなものが見つかります。

丁寧な解説ありがとうございます。 プログラムは、FLEX というソフトを使って作っています。 これから、少しずつ練習してみようと思っています。 それにしても、この図形ですが、しみじみ眺めているうちに、何かの妖怪みたいに見えてきました。 複雑な輪郭線が、妙に怪しい感じがします。

 本当のフラクタル図形は、小さい方も大きいほうも無限に続いていくものの筈で、第二コッホ曲線の一辺を3等分して凸状にし、さらに各辺を3等分するという操作を繰り返していくと、やがて一辺が原子の直径よりも短くなり、その構成要素である素粒子よりも短くなってしまいます。これでもまだまだ終わりではありません。
 大きさも、シルピンスキーの三角形ですと、表示されている三角形を含む平面上に、さらに同じ大きさの三角形をつなげて縦横2倍の三角形ができ、その操作を繰り返していくと、やがて冥王星までの距離よりも長くなり、さらにオールトの雲、他の恒星までの距離、銀河系の端までよりも大きくなってしまい、さらに続けていくと何千万光年先の銀河集団、何億光年、宇宙の果てということになっている数百億光年先よりも最大の三角形が大きくなってしまう。これでもまだまだ無限大にはほど遠い。
 現実にそんなものが存在するわけはなく、仮想上の話ですが、厳密に定義するならそう考えるべきではないかという気がします。ただ、フラクタル次元が、非整数の空間のことなのか、あるいは2次元空間内に存在する図形の一種なのか? このあたりについては理解できていません。
 フラクタルのほかに、マンデルブロ集合ジュリア集合というのもあるらしく、複素平面がどうのという、ことらしく、詳しいことは知りません。ジュリア集合の画像には渦巻き模様が出てくるのでおもしろいです。
 対数螺旋の、巻貝型の渦巻き模様のプログラムって作れるんでしょうか?

渦巻き模様のカオス図形というのも
色々あるみたいですね。
そのうち作ってみたいと思っています。
ただし対数螺旋になるのがあるかどうかは
良く分かりませんが。

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