ルベーグ積分 ～ 測度の内部正則性

ルベーグ積分の学習。
ルベーグ積分⑲ ～測度の内部正則性の証明～

前回、ボレル集合族のことを書いた。 測る対象がボレル集合族の仲間（ボレル集合）であれば、積分などの数学的な操作を行うのに都合が良いらしい。　今回は、測る対象がボレル集合の場合、その測定値（測度）を決めるための、ある種の方法（内部正則性）を学習した。

実数空間（現実の３次元空間など）の一部（例えばコップの内部）の大きさを測りたいとき、直接、物差しなどで測ろうとしても上手く行かない。 例えば、水を満杯にして、その水の体積を適当な測定器を使って調べるのが正確な測り方になるだろう。 要するに「特定の測定値（測度）が決まる」ということが必要だ。

数学的には、特定の測定値が決まるような対象のことを「コンパクト集合」という抽象的な概念で表わすのだが、ここでは、コップの中の水をコンパク集合だと思うことにする。 当然、乱暴に水を注いではいけない。　だから「測り方」も重要で、あくまで水（コンパクト集合）の体積を決められるような丁寧な測り方をせねばならない。

さらには、測定値が決まればよい、というだけでもない。　正確に測るためには、コップから溢れない、上限ぎりぎりの所に水面を作る必要がある。　このようにして決まる測定値のことを、数学でも「上限」と呼ぶ。

今回学んだこと（内部正則性）を、あえて雑に例えれば、「コップの内部（ボレル集合）の大きさは、コップを満たす水（コンパクト集合）の量を、丁寧に測った時の、測定値の上限で決めることができる」といえるかも・・・あまり自信ないが。

ボレル集合そのものの意味は、未だに漠然としている。 数学的には「当たり前の測定値が得られる」という性質が要求されているようだ。　つまり「コップ２杯分の容積は、１杯分の容積を別々に測って足し合わせたものに等しい」といった感じで、いや当たり前だろうと思うが、数学では、そこのところをきちんと言っておかないと、後で困ることになるらしい。

ちなみに、コップではなく靴下の場合、小麦粉か何かを使って容積を測れそうだが、こちらは、コップとは違う問題が起きそうだ。靴下は伸び縮みするし、網目の隙間から小麦粉が漏れるかもしれない。 ということは、靴下の内部空間は、ボレル集合ではない、ということか・・・。

ルベーグ積分 ～ ボレル集合族

ルベーグ積分の学習。
ルベーグ積分⑭ ~ ボレル集合族の定義 ~

前回まで何かの大きさや量を測ることを、数学の言葉で表すことを学習してきたわけだが、今回は、測る操作ではなく、測る対象についての議論である。ルベーグ積分では、測る対象を 「集合」 として捉え、その集合が、実際に測れる性質のものかどうか見極める作業が必要になる（らしい）。

いや、そんな面倒くさいことを考えなくても、実際に測ってみて 「んー何かうまく測れないんですけど～」 ということになったら、ベテランの人が出てきて、ほらこうすれば測れるじゃないか、ということを教えてあげればいいし、それでも測れなかったらあきらめるとか専門業者に頼むとか・・・まあ、それは現場の話であって、数学ではないわけだが。

５回ほど前の投稿で、集合の可測性について学んだことを書いたが、これは、言ってみれば 「境界がはっきりしているかどうか」 というようなことだろう、と直観的に理解できた。
しかし今回、見極めるべきことは、測るべき対象（集合）が 「ボレル集合族の要素かどうか」 という内容で、正直な所、初心者には謎の話といわざるを得ない。

全体像がつかめていないことを承知で、ボレル集合族（集合を要素とする集合）の性質を書くと．．．

１．実数空間（現実の３次元空間など）の任意の領域（部分集合）を要素とすること。
　（部分集合は無限個考えられるので、集合族の要素も無限個ある。）
２．集合族の要素（部分集合）の補集合が、その集合族に含まれること（σ-加法族の性質）
３．集合族の要素（部分集合）を勝手な数だけ集めて作った和集合が、その集合族に含まれること（σ-加法族の性質）
４．１～３をみたす集合族の中で「最小」であること

１～３が、測定対象（領域の体積とか）を測る時、成立してほしい性質だろうというのは何となく理解できる。ある領域の体積を測ったら、残りの領域も（体積は無限大かもしれないが）測れた方がいいし、複数の領域を重ね合わせてできた領域も測れたほうがいい。

良く分からないのが 「最小の集合族」 という概念だ。１～３を満たす集合族を、全て洗い出して、それぞれの包含関係を
A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ ・・・ と書き出すことができれば、A1 が最小である、ということは言えそうだ。 しかし、実際には 「部分集合の集合族」 を全て書き出すなどということができる訳もなく、仕方ないのでそこは保留にして、このまま学習を続ければ、もしかしたら分かるようになるのだろう、と思っている次第。

画像は 「ホットケーキの部分集合を集めた集合族」 のつもりだが、当然ながら、ボレル集合族ではない。 ボレルにするためには、元にするのはホットケーキじゃなくて多次元空間だし、切れ端（部分集合）も無限大の大きさから見えないくらい小さなものまで、無限個存在する。

それはさておき、集合族が最小であるというのは、「なるべく小さな皿に収まる」 ということだと思うが・・・
これは、やっぱり意味不明だ。

ルベーグ積分 ～ 単調増加する集合列の正則測度

ルベーグ積分の学習。
ルベーグ積分⑬ ~ 正則測度の性質 ~

ブロッコリーの体積を直接測ることは難しいが、水に沈めて水面の上昇量を調べることで、
間接的に体積を測ることができる。　仮に品種改良を繰り返して、次々に大きなブロッコリーが
作られるようになったら、それなりに大きな水槽を用意して測れば良い。

では、このように大きくする品種改良が 「無限回」 繰り返されたら、同様に水を使って間接的に測ることができるだろうか。

この場合、もし大きさが無限に大きくなるのであれば、「無限大」という測定結果になるだろう。（普通ありえないけど）
一方、いくら改良しても、これ以上大きくできないという限界があるのだったら、測定値は、その限界の大きさに収束し、
それを体積の極限値とすれば良い。

言葉で書くと、当たり前のことなのに、数学的に無限回というのを厳密に扱うと、妙に証明が難しくなるのでやっかいだ。

ルベーグ積分 ～ 測度の正則性

ルベーグ積分の学習。
ルベーグ積分⑫ ~ 正則測度の構成 ~

測度とは、極めてざっくり言えば、何かの測定値なわけで、（と思っているだけで、あまり自信はないが）
測る対象（集合）と測り方（測度の定義）次第で測れたり測れなかったりする。

雑な例で何だが、例えばブロッコリーの体積を「直接」測ろうとすると、これは大変なことで、
おそらく測れないんじゃないかと思う。 しかし、下の写真のように、ブロッコリーを水に沈めて、水面の上昇量を
記録すれば、適当な方法で上昇した分の水の体積を調べ、間接的に、ブロッコリーの体積が分かるはずだ。
この時、ブロッコリーの表面と、周りの水の間に気泡などの「隙間」がないこと、が重要なのは言うまでもない。

で、このように測れない対象を直接測定する代わりに、別の測れる対象を測定し、その結果を「正しい測定値」として
代用しようというのが、今回学んだことだ。（合っているだろうか？） ただ代用するといっても、その結果が
信頼できないと困るので、一定の条件をみたす信頼できる測定値のことを 「正則な測度」 と呼ぶらしい。

上記の例えでは、ブロッコリーと水の間に隙間がないことが必須の条件だが、数学的には、似たようなことが
集合の要素の「下限値」という言葉で語られる。 最初、証明を見た時は何を行っているのか、さっぱり
分からなかったが、繰り返し噛みしめるように論理を追っていくと、次第に意味が分かってきた。 するめみたいだな。

ルベーグ積分 ～ 無限個の集合の和の測度

ルベーグ積分の学習。
数の落とし子　ルベーグ積分⑨ ~ 可測集合列の和集合の可測性 ~

測度が決まる集合（可測集合）を無限個集めた時、その和集合の測度を決めることができる（可測である）という話。
数式を追っていくと、正しいことがわかるが、集合を無限個集める、という時点で直観から遠ざかってしまい、
どうももやもやした感じが残る。　

ホットケーキをたくさん重ねても、境界がぼやけることは無いので
大きさを測ることはできそうだ。

でも無限個集めたら、無限に大きくなる可能性もあるので
そうなると、いつまでたっても測り終えることができないかも・・・

いや、測り終えることができないことを予測できるから、
「大きさ無限」という測定値が得られて、それで 「可測」
というわけか・・・。

ルベーグ積分 ～ 単調増加する集合列

ルベーグ積分の学習の続き。
数の落とし子　ルベーグ積分⑥ ~ 可測集合の性質 ~

複数の集合を次第に大きくなるように定義し、それらを無限個に増やしていく場合、「全ての集合の和（合併）」の測度は、
「最後の集合の測度」の極限値になる、という定理を教わった。

ホットケーキの下に、より大きいホットケーキを挿入することを何度も繰り返した後、全体を上から見た時の大きさは、
当然、一番下のホットケーキの大きさになるわけだが・・・それを無限回繰り替えしても、結果は同様・・・という、
これまた当り前じゃないかという気がする。 でも、「無限回」というのを、きちんと言葉で説明しようとすると、
どうもうまく行かない。 そこを、正確に反論の余地なく説明できるのが、数学の面白い所。

ルベーグ積分 ～ 集合の可測性

ルベーグ積分の学習の続き。
数の落とし子　ルベーグ積分⑤ ~ 可測集合の性質 ~

ある集合に対して、可測性、つまり何かしらの測定ができるかどうかを判定するのは、まじめに考えると簡単ではないらしい。
数学では、可測性を「境界がはっきりしているかどうか」という意味で扱い、それを数式で表現することで、各種の定理が
導き出される。

例えば、ホットケーキを切って重ならないように並べた時、「全体の大きさ」 と「切れ端１枚ごとの大きさの合計」は等しい。
ただし、切った時に境界がはっきりしなくなったら、１枚ごとの大きさが怪しくなるので、合計した大きさが、切る前より
大きくなったりするかもしれない。 そういったことを、逐一数式に置き換えて証明を行うので、えらく大変だ。
まあ、そうやって直観的に当たり前と思えることを、論理的に見直すことは大事なことなのだろうと思う。

ルベーグ積分 ～ 測度の劣加法性

かねてから理解したいと思っていた、ルベーグ積分について、動画で学習。
数の落とし子　ルベーグ積分

痒い所に手が届く解説で素晴らしい。　とはいえ、先は長いし大丈夫だろうか。

まずは測度の定義から。
測度とは、ある集合Ａを完全に含むような『集合の集まり」を想定したとき、
Ａの測度 ≦ 『集合の集まり』 を構成する集合の測度の和
となるように決めるものである、という。

この性質を劣加法性と呼ぶそうだが、例えばこんな感じか？






　上に乗っているホットケーキの大きさ
　≦  下のホットケーキ１枚ごとの大きさの合計

半導体結晶とエネルギーバンド （ #半導体 #エネルギーバンド）

「半導体デバイスの基礎」 という教科書の続きで、結晶内の共有結合とエネルギーバンドについての定性的な解説を読む。 まとめると．．．

１．原子がたくさん集まると、共有結合やイオン結合というメカニズムが作用して、結晶ができる。

２．結晶の中では、電子のエネルギーが、一定幅（バンド）に広がって存在するようになる。

３．シリコンのような半導体では、複数のバンドがあるうちの、一番高エネルギーのバンド（価電子帯）が、一原子あたり４個の電子で埋まっていて、その価電子帯の電子が共有結合状態を形成している。

４．通常の温度だと、価電子帯の電子の一部 （総電子数の 10 の -14乗） が、価電子帯よりもさらに高いエネルギーバンド （伝導帯） に跳ね上がる現象が連続的に起きていて、その伝導帯の電子は、共有結合の束縛から解放されて、結晶内を自由に動き回れるようになる。

なお、上記４の伝導帯の電子の割合は、純粋なシリコン結晶の場合の話であって、不純物を含む半導体（電流が流れる部分）の場合は、もっと多くの電子が伝導体に存在する。 （総電子数の 10 の -8乗程度）　もともと、原子や電子の数というのは、滅茶苦茶多くて、例えば 1mm の立方体の中には 10 の 21乗個ほどの電子があるため、その中の伝導電子数は 10 の 13乗個くらいと考えて良いだろう。

いずれにしても、電子のエネルギーが決まる原理とか、共有結合の量子論的な説明とか、ろくに分かっていないので、上記の議論は天下り的に受け入れるしかない。 その辺、ちょっと心もとないので、いずれまた勉強し直したいと思う。

右図は、走査型トンネル顕微鏡による、シリコン結晶の画像。
電子雲（伝導帯または価電子帯 ）の表面の形が、トンネル電流の大きさ（陰影）に反映されていると思われる。

半導体デバイスの基礎 （ #半導体 #ボーア模型）

前回、半導体の原理的な理解をしようという、ずいぶん面倒くさい課題を設定したわけだが、とにかく地道に教科書を読むことにする。

「半導体デバイスの基礎」 という ３巻組の本で、相当な量がある。 量があるのは、原理的なことを、かなり事細かに数式の展開も含めて説明しようとしているからで、これは 「理解したい」 という意図で読むには、とても親切でありがたい。

ひとまず、前期量子論の原子モデル（ボーア模型）の説明を読む。 半導体の原理は量子論を基礎としているので、その解説から入っていくらしい。　それにしても道は遠い。

　　　　　　　水素のボーア模型