ルベーグ積分 ～ ボレル集合族

ルベーグ積分の学習。
ルベーグ積分⑭ ~ ボレル集合族の定義 ~

前回まで何かの大きさや量を測ることを、数学の言葉で表すことを学習してきたわけだが、今回は、測る操作ではなく、測る対象についての議論である。ルベーグ積分では、測る対象を 「集合」 として捉え、その集合が、実際に測れる性質のものかどうか見極める作業が必要になる（らしい）。

いや、そんな面倒くさいことを考えなくても、実際に測ってみて 「んー何かうまく測れないんですけど～」 ということになったら、ベテランの人が出てきて、ほらこうすれば測れるじゃないか、ということを教えてあげればいいし、それでも測れなかったらあきらめるとか専門業者に頼むとか・・・まあ、それは現場の話であって、数学ではないわけだが。

５回ほど前の投稿で、集合の可測性について学んだことを書いたが、これは、言ってみれば 「境界がはっきりしているかどうか」 というようなことだろう、と直観的に理解できた。
しかし今回、見極めるべきことは、測るべき対象（集合）が 「ボレル集合族の要素かどうか」 という内容で、正直な所、初心者には謎の話といわざるを得ない。

全体像がつかめていないことを承知で、ボレル集合族（集合を要素とする集合）の性質を書くと．．．

１．実数空間（現実の３次元空間など）の任意の領域（部分集合）を要素とすること。
　（部分集合は無限個考えられるので、集合族の要素も無限個ある。）
２．集合族の要素（部分集合）の補集合が、その集合族に含まれること（σ-加法族の性質）
３．集合族の要素（部分集合）を勝手な数だけ集めて作った和集合が、その集合族に含まれること（σ-加法族の性質）
４．１～３をみたす集合族の中で「最小」であること

１～３が、測定対象（領域の体積とか）を測る時、成立してほしい性質だろうというのは何となく理解できる。ある領域の体積を測ったら、残りの領域も（体積は無限大かもしれないが）測れた方がいいし、複数の領域を重ね合わせてできた領域も測れたほうがいい。

良く分からないのが 「最小の集合族」 という概念だ。１～３を満たす集合族を、全て洗い出して、それぞれの包含関係を
A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ ・・・ と書き出すことができれば、A1 が最小である、ということは言えそうだ。 しかし、実際には 「部分集合の集合族」 を全て書き出すなどということができる訳もなく、仕方ないのでそこは保留にして、このまま学習を続ければ、もしかしたら分かるようになるのだろう、と思っている次第。

画像は 「ホットケーキの部分集合を集めた集合族」 のつもりだが、当然ながら、ボレル集合族ではない。 ボレルにするためには、元にするのはホットケーキじゃなくて多次元空間だし、切れ端（部分集合）も無限大の大きさから見えないくらい小さなものまで、無限個存在する。

それはさておき、集合族が最小であるというのは、「なるべく小さな皿に収まる」 ということだと思うが・・・
これは、やっぱり意味不明だ。

ルベーグ積分 ～ 単調増加する集合列の正則測度

ルベーグ積分の学習。
ルベーグ積分⑬ ~ 正則測度の性質 ~

ブロッコリーの体積を直接測ることは難しいが、水に沈めて水面の上昇量を調べることで、
間接的に体積を測ることができる。　仮に品種改良を繰り返して、次々に大きなブロッコリーが
作られるようになったら、それなりに大きな水槽を用意して測れば良い。

では、このように大きくする品種改良が 「無限回」 繰り返されたら、同様に水を使って間接的に測ることができるだろうか。

この場合、もし大きさが無限に大きくなるのであれば、「無限大」という測定結果になるだろう。（普通ありえないけど）
一方、いくら改良しても、これ以上大きくできないという限界があるのだったら、測定値は、その限界の大きさに収束し、
それを体積の極限値とすれば良い。

言葉で書くと、当たり前のことなのに、数学的に無限回というのを厳密に扱うと、妙に証明が難しくなるのでやっかいだ。

ルベーグ積分 ～ 測度の正則性

ルベーグ積分の学習。
ルベーグ積分⑫ ~ 正則測度の構成 ~

測度とは、極めてざっくり言えば、何かの測定値なわけで、（と思っているだけで、あまり自信はないが）
測る対象（集合）と測り方（測度の定義）次第で測れたり測れなかったりする。

雑な例で何だが、例えばブロッコリーの体積を「直接」測ろうとすると、これは大変なことで、
おそらく測れないんじゃないかと思う。 しかし、下の写真のように、ブロッコリーを水に沈めて、水面の上昇量を
記録すれば、適当な方法で上昇した分の水の体積を調べ、間接的に、ブロッコリーの体積が分かるはずだ。
この時、ブロッコリーの表面と、周りの水の間に気泡などの「隙間」がないこと、が重要なのは言うまでもない。

で、このように測れない対象を直接測定する代わりに、別の測れる対象を測定し、その結果を「正しい測定値」として
代用しようというのが、今回学んだことだ。（合っているだろうか？） ただ代用するといっても、その結果が
信頼できないと困るので、一定の条件をみたす信頼できる測定値のことを 「正則な測度」 と呼ぶらしい。

上記の例えでは、ブロッコリーと水の間に隙間がないことが必須の条件だが、数学的には、似たようなことが
集合の要素の「下限値」という言葉で語られる。 最初、証明を見た時は何を行っているのか、さっぱり
分からなかったが、繰り返し噛みしめるように論理を追っていくと、次第に意味が分かってきた。 するめみたいだな。

ルベーグ積分 ～ 無限個の集合の和の測度

ルベーグ積分の学習。
数の落とし子　ルベーグ積分⑨ ~ 可測集合列の和集合の可測性 ~

測度が決まる集合（可測集合）を無限個集めた時、その和集合の測度を決めることができる（可測である）という話。
数式を追っていくと、正しいことがわかるが、集合を無限個集める、という時点で直観から遠ざかってしまい、
どうももやもやした感じが残る。　

ホットケーキをたくさん重ねても、境界がぼやけることは無いので
大きさを測ることはできそうだ。

でも無限個集めたら、無限に大きくなる可能性もあるので
そうなると、いつまでたっても測り終えることができないかも・・・

いや、測り終えることができないことを予測できるから、
「大きさ無限」という測定値が得られて、それで 「可測」
というわけか・・・。

ルベーグ積分 ～ 単調増加する集合列

ルベーグ積分の学習の続き。
数の落とし子　ルベーグ積分⑥ ~ 可測集合の性質 ~

複数の集合を次第に大きくなるように定義し、それらを無限個に増やしていく場合、「全ての集合の和（合併）」の測度は、
「最後の集合の測度」の極限値になる、という定理を教わった。

ホットケーキの下に、より大きいホットケーキを挿入することを何度も繰り返した後、全体を上から見た時の大きさは、
当然、一番下のホットケーキの大きさになるわけだが・・・それを無限回繰り替えしても、結果は同様・・・という、
これまた当り前じゃないかという気がする。 でも、「無限回」というのを、きちんと言葉で説明しようとすると、
どうもうまく行かない。 そこを、正確に反論の余地なく説明できるのが、数学の面白い所。

ルベーグ積分 ～ 集合の可測性

ルベーグ積分の学習の続き。
数の落とし子　ルベーグ積分⑤ ~ 可測集合の性質 ~

ある集合に対して、可測性、つまり何かしらの測定ができるかどうかを判定するのは、まじめに考えると簡単ではないらしい。
数学では、可測性を「境界がはっきりしているかどうか」という意味で扱い、それを数式で表現することで、各種の定理が
導き出される。

例えば、ホットケーキを切って重ならないように並べた時、「全体の大きさ」 と「切れ端１枚ごとの大きさの合計」は等しい。
ただし、切った時に境界がはっきりしなくなったら、１枚ごとの大きさが怪しくなるので、合計した大きさが、切る前より
大きくなったりするかもしれない。 そういったことを、逐一数式に置き換えて証明を行うので、えらく大変だ。
まあ、そうやって直観的に当たり前と思えることを、論理的に見直すことは大事なことなのだろうと思う。

ルベーグ積分 ～ 測度の劣加法性

かねてから理解したいと思っていた、ルベーグ積分について、動画で学習。
数の落とし子　ルベーグ積分

痒い所に手が届く解説で素晴らしい。　とはいえ、先は長いし大丈夫だろうか。

まずは測度の定義から。
測度とは、ある集合Ａを完全に含むような『集合の集まり」を想定したとき、
Ａの測度 ≦ 『集合の集まり』 を構成する集合の測度の和
となるように決めるものである、という。

この性質を劣加法性と呼ぶそうだが、例えばこんな感じか？






　上に乗っているホットケーキの大きさ
　≦  下のホットケーキ１枚ごとの大きさの合計

半導体結晶とエネルギーバンド （ #半導体 #エネルギーバンド）

「半導体デバイスの基礎」 という教科書の続きで、結晶内の共有結合とエネルギーバンドについての定性的な解説を読む。 まとめると．．．

１．原子がたくさん集まると、共有結合やイオン結合というメカニズムが作用して、結晶ができる。

２．結晶の中では、電子のエネルギーが、一定幅（バンド）に広がって存在するようになる。

３．シリコンのような半導体では、複数のバンドがあるうちの、一番高エネルギーのバンド（価電子帯）が、一原子あたり４個の電子で埋まっていて、その価電子帯の電子が共有結合状態を形成している。

４．通常の温度だと、価電子帯の電子の一部 （総電子数の 10 の -14乗） が、価電子帯よりもさらに高いエネルギーバンド （伝導帯） に跳ね上がる現象が連続的に起きていて、その伝導帯のパワーを持った電子は、共有結合の束縛から解放されて、結晶内を自由に動き回れるようになる。

といった理解をした。 もっとも、電子のエネルギーが決まる原理とか、共有結合の量子論的な説明とか、ろくに分かっていないので、上記の議論は天下り的に受け入れるしかない。 その辺、ちょっと心もとないので、いずれまた勉強し直したいと思う。

総電子数 に対する伝導体の電子数の割合が、10 の -14乗 （ 100 兆分の１） しかないというのは、少し意外だ。　普段、パソコンを使っていると、CPU の中で結構な電流が流れているはずで、それは伝導体の電子が担っているはずだ。 ところが、その個数は、CPU内部の半導体に含まれる電子数を日本の国家予算とすると、たった１円相当の電子ということになる　．．．．本当か？

右図は、走査型トンネル顕微鏡による、シリコン結晶の画像。
電子雲（伝導帯または価電子帯 ）の表面の形が、
トンネル電流の大きさ（陰影）に反映されていると思われる。

半導体デバイスの基礎 （ #半導体 #ボーア模型）

前回、半導体の原理的な理解をしようという、ずいぶん面倒くさい課題を設定したわけだが、とにかく地道に教科書を読むことにする。

「半導体デバイスの基礎」 という ３巻組の本で、相当な量がある。 量があるのは、原理的なことを、かなり事細かに数式の展開も含めて説明しようとしているからで、これは 「理解したい」 という意図で読むには、とても親切でありがたい。

ひとまず、前期量子論の原子モデル（ボーア模型）の説明を読む。 半導体の原理は量子論を基礎としているので、その解説から入っていくらしい。　それにしても道は遠い。

　　　　　　　水素のボーア模型
　　　　

ロボットカーの基礎は半導体 （ #Arduino #半導体）

「ロボットカーがコース上を走る」 という動作を分析すると、次のようなことになっている。

１．車体前方の赤外線 LED（右図）が下向きに発光する。
 
２．黒い板と白いテープの赤外線反射率の違いにより、
　　赤外線センサー（右図）の出力電圧が変化する。
 
３．赤外線センサーの出力電圧に対し、一定のしきい値を基準に
　　High/Low 電圧が Arduino 基板に入力される。

４．Arduino 内部のプログラムにより、センサーからの信号に応じて、モータの制御信号（クロック）波形を変化させる。

５．クロック波形に応じた電流がモータに供給される。
６．電流により、モータが回転する。

この開発キットの場合、上記 1～3 および 5～6 の機能は、既に作りこまれているので、ユーザ自身が考えて手を加えるのは 4 のプログラム部分である。　Arduino は誰でも使える、というのが売りなので、これはこれで良い。

ただ、今後の方針なのだが、ハードウェア部分、それも最も基本的な CPU など半導体そのものについて知識を深めたいと考えている。 システムを作りこむ作業ではなく、書籍ベースで半導体の原理的な理解を積み重ねる、という地道な作業を行うことになる。 果たして挫折せずに続けて行けるか、少々心もとないが、以前から一度は取り組んで見るつもりだったので、これから何とか頑張ってみたい。